questions ouvertes

une question :
j'en appelle à votre solidarité pour m'aider à résoudre un petit problème sur lequel je cale (première question) et pour lequel je suis supposé soutenir un étudiant (par solidarité ...)
si quelqu'un a une idée ... ça ne doit pas être super super compliqué (niveau licence de math 2ième année)
lien vers l'énoncé ci-dessous.
Merci !!!
Fibonacci

Bon on applique les bonnes vieilles recettes : quand on n'a pas d'idée on essaie par récurrence.
ici :
on vérifie (facilement) que c'est vrai pour P1,P2,P3.

supposons vrai au rang n :
(1) : Pn^2 = 1 + Pn-1.Pn+1
démontrons que c'est vrai au rang n+1 soit :
(2) : Pn+1^2 = 1 + Pn.Pn+2
la formule générale de Fibonacci donne au rang n+2 :
(3) : Pn+2 = X.Pn+1 -Pn
multiplions les 2 termes de (3) par Pn pour faire apparaître le produit "Pn.Pn+2" :
=> Pn.Pn+2 = X.Pn+1.Pn - Pn^2
remplaçons Pn^2 par son expression dans (1) :
=> Pn.Pn+2 = X.Pn+1.Pn - (1 + Pn-1.Pn+1)
mettons Pn+1 en facteur dans le membre de droite de l'équation ci-dessus :
=> (4) : Pn.Pn+2 = Pn+1 (X.Pn -Pn-1) -1
mais la formule générale Fibonacci au rang n donne : X.Pn-Pn-1 = Pn+1
en reportant dans (4) il vient :
Pn.Pn+2 = Pn+1.Pn+1 -1 soit encore : Pn+1 ^2 = 1 + Pn.Pn+2
cqfd (comme on disait autrefois)

un autre petit problème pas trop difficile (j'ai la solution sous le coude que je posterai lundi ...)
bonne recherche !

une réponse possible :
drive.google.com/open?id=1HcDPTBVc9Iruic9E_6eeu0-NwFDSOY1g